Studio dei Vettori

Fisica e matematica per il liceo · teoria, simulazioni animate & quiz
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Che cos'è un vettore?

Una grandezza vettoriale è completamente definita da tre informazioni: modulo (l'intensità), direzione (la retta su cui giace) e verso (l'orientamento su quella retta). Esempi: spostamento, velocità, forza, accelerazione.

Le grandezze scalari, invece, sono definite da un solo numero: massa, temperatura, tempo, energia.

$$\vec{v} = (v_x \,;\, v_y) \qquad |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

In questa app esplori cinque argomenti. Ogni argomento è organizzato in quattro sotto-schede: Teoria, Simulazione (grafica interattiva e animata — muovi i cursori, premi Anima), Esercizi graduati (problemi svolti di difficoltà crescente) e Quiz specifici (10 domande di teoria e 5 numeriche). Al termine trovi un Quiz finale riepilogativo su tutti gli argomenti.

Suggerimento: segui l'ordine delle sotto-schede — leggi la teoria, esplora la simulazione, allenati con gli esercizi graduati e infine verifica le tue conoscenze con i quiz.
Legenda colori (valida in tutta l'app): ■ a ■ b ■ risultante ■ componente x ■ componente y / proiezione

Un po' di storia

L'idea di rappresentare una grandezza con un segmento orientato affonda le radici nello studio delle forze e degli spostamenti, ma il calcolo vettoriale come lo conosciamo è piuttosto recente. Nel 1799 il matematico norvegese Caspar Wessel rappresentò i numeri complessi come punti e frecce del piano, anticipando l'idea di componente.

La svolta arrivò con i quaternioni di William Rowan Hamilton (1843): fu proprio Hamilton a coniare i termini «vettore» (dal latino vector, «colui che trasporta») e «scalare». Negli stessi anni Hermann Grassmann sviluppava in modo indipendente una teoria generale degli spazi lineari.

Verso la fine dell'Ottocento Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside diedero forma all'analisi vettoriale moderna, introducendo la notazione del prodotto scalare e del prodotto vettoriale che usi ancora oggi in fisica.

Il vettore e le sue componenti

Nel piano cartesiano un vettore v applicato nell'origine raggiunge il punto (vx; vy). Le due componenti sono le proiezioni del vettore sugli assi.

Da componenti a modulo e angolo

$$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad \theta = \arctan(v_y / v_x)$$

Da modulo e angolo a componenti

$$v_x = |\vec{v}|\cos\theta \qquad v_y = |\vec{v}|\sin\theta$$

Il versore

Il versore v̂ è il vettore di modulo 1 che indica la direzione e il verso di v:

$$\hat{v} = \vec{v}/|\vec{v}| \qquad |\hat{v}| = 1$$
L'angolo θ si misura a partire dal semiasse x positivo, in senso antiorario. Due vettori sono uguali se hanno stesso modulo, direzione e verso, ovunque siano applicati.

Somma e differenza di vettori

Regola punta-coda

Per sommare a + b si trasla b in modo che la sua coda coincida con la punta di a. La risultante va dalla coda di a alla punta di b.

Per componenti

$$(\vec{a}+\vec{b})_x = a_x+b_x \qquad (\vec{a}+\vec{b})_y = a_y+b_y$$

La somma è commutativa (a+b = b+a) e si può costruire anche con la regola del parallelogramma.

La differenza

$$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$$

Si somma ad a il vettore opposto di b. Applicati nello stesso punto, a−b è il vettore che va dalla punta di b alla punta di a.

Il modulo della somma NON è in generale |a|+|b|: vale |a|+|b| solo se i vettori sono paralleli e concordi; se sono perpendicolari |a+b| = √|a|²+|b|².

Prodotto di un vettore per uno scalare

Moltiplicando un vettore v per un numero (scalare) k si ottiene un nuovo vettore kv:

$$|k\vec{v}| = |k|\cdot|\vec{v}| \qquad (k\vec{v})_x = k\cdot v_x \,;\, (k\vec{v})_y = k\cdot v_y$$
  • se k > 0: kv ha lo stesso verso di v;
  • se k < 0: kv ha verso opposto;
  • se |k| > 1 il vettore si allunga, se |k| < 1 si accorcia;
  • se k = 0 si ottiene il vettore nullo.

Il vettore kv è sempre parallelo a v. Vale la proprietà distributiva: k(a+b) = ka + kb.

Dividendo un vettore per il suo modulo si ottiene il versore: v̂ = v/|v| = (1/|v|)·v. È un prodotto per lo scalare 1/|v|.

Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori è un numero (uno scalare), non un vettore. Si può calcolare in due modi equivalenti:

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta \qquad \vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$$

dove θ è l'angolo compreso tra i due vettori.

Segno e angolo

  • a·b > 0 → angolo acuto;
  • a·b = 0 → vettori perpendicolari;
  • a·b < 0 → angolo ottuso.

Significato geometrico

Il prodotto scalare è il modulo di a moltiplicato per la proiezione di b sulla direzione di a:

$$\text{proiez. di }\vec{b}\text{ su }\vec{a} = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} \qquad \cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$$
Proprietà utili: a·a = |a|² ed è commutativo: a·b = b·a.

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale a×b di due vettori è un vettore. È un'operazione intrinsecamente tridimensionale.

Direzione e verso

Il vettore a×b è perpendicolare al piano individuato da a e b; il suo verso è dato dalla regola della mano destra.

Modulo

$$|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\sin\theta$$

Il modulo è uguale all'area del parallelogramma di lati a e b.

Componenti

$$\vec{a}\times\vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y \,;\, a_z b_x - a_x b_z \,;\, a_x b_y - a_y b_x)$$
Il prodotto vettoriale è anticommutativo: a×b = −(b×a). Se a e b sono paralleli (θ = 0° o 180°) allora a×b = 0; in particolare a×a = 0.

Quiz finale riepilogativo

Un'unica verifica su tutti e cinque gli argomenti: 15 domande (teoria e calcolo). A differenza dei quiz per argomento, qui le correzioni compaiono solo alla fine: rispondi a tutte le domande, poi premi Consegna e correggi. Al termine potrai rivedere gli errori con la spiegazione di ciascuno.

Puoi navigare avanti e indietro e cambiare le risposte prima della consegna.